MECÂNICA

Construindo um dinamômetro 

O dinamômetro é um aparelho simples e muito comum nos laboratórios de ensino, cuja função é a de medir a intensidade de forças. Com materiais simples e do cotidiano podemos construir um aparelho similar ao dinamômetro e através dele comparar forças, utilizando para isso a deformação de uma mola. Os materiais usados na confecção desse aparato experimental são:
 • Uma régua de trinta centímetros;
• Um barbante;
• Um clipe;
• Pedaços de fita adesiva (pode ser fita crepe);
• Um elástico igual àquele utilizado para prender dinheiro;
• Algumas caixinhas de fósforo com diferentes quantidades de areia, ou seja,
com diferentes pesos.
O primeiro passo é amarrar uma ponta do elástico no clipe e a outra extremidade em um barbante. Feito, pegue a fita adesiva e fixe o barbante em uma das extremidades da régua de modo que a ponta do clipe coincida com algum dos traços de centímetro da régua. Com uma caneta “destaca texto” marque esse local. Para evitar que o barbante solte, coloque bastante fita crepe. Agora, pegue as caixas de fósforo e em cada uma delas amarre um barbante, de modo que se forme uma pequena alça, pois será através desta que a caixa será presa ao clipe.
O experimento está pronto! Pegue uma das caixas com areia, fixe-a no clipe e anote quantos centímetros o elástico deformou, a seguir, repita este mesmo procedimento com todas as outras caixas, uma de cada vez. Depois de realizado toda a parte experimental, é momento de fazer as conclusões. Por meio de perguntas instigue os alunos buscando fazer com que eles formulem hipóteses que expliquem o porquê da diferença da deformação do elástico para diferentes pesos das caixas de fósforo.

Disponível em: http://educador.brasilescola.com/estrategias-ensino/construindo-um-dinamometro.htm

Antonio Carlos Silva Junior – EEM Ricardo de Sousa Neves- Cidade de Marco
 

. Mecânica Newtoniana 1.1.1 As Leis de Newton e Suas Interpretações

Para que compreendamos plenamente o significado das leis de Newton e para que possamos enunciá-las com clareza, algumas definições carecem de ser feitas; devemos, portanto, esclarecer o significado de termos tais como “corpo”, “força aplicada”,”estado de movimento”, dentre muitos outros. Por outro lado, queremos também definir o “cenário” onde tal trama se desenrola, e para tanto desejamos dar noções do que seja o espaço-contínuo, onde o movimento toma lugar. Posto tudo isto feito, então iremos traduzir as leis de Newton em termos quantitativos, as sucintas e belas equações matemáticas que poderão ser testadas no mundo real, comparando-se suas previsões aos os resultados experimentais obtidos. Por “corpo” entenderemos uma massa pontual, isto é, partícula de dimensões nulas, sem extensão, dotadas de uma massa finita. Isto pode, a priori, parecer uma generalização um tanto forçada, mas é a mais adequada para o assunto com o qual estamos lidando. Qualquer distribuição finita de massa pode ser considerada como estando concentrada em um só ponto. Para isto, basta imaginarmos tal distribuição como encerrada em uma esfera, que terá raio finito, visto que a distribuição também o é. Nós definimos um ponto muito importante, chamado de centro de gravidade da configuração ou distribuição de massas. Este é o ponto da distribuição de massas que se comporta como se toda a matéria estivesse ali concentrada; ele é dado em função apenas da configuração espacial destas: é a média ponderada das massas, pesadas por essas. Sejam dados um sistema de coordenadas Oxyz, e sejam mi as massas das partículas e ri seus respectivos vetores-posição. Então, o vetor que indica a posição do centro de gravidade, R , pode ser dado pela seguinte expressão matemática:

Este ponto pode ser visto como concentrando toda a massa do sistema, M. Portanto, é o local onde a força resultante virtualmente atua. É importante sabermos que uma distribuição de massas simétrica em todas as direções, i.e., uma distribuição esférica de massas se comporta como se toda a sua massa estivesse localizada em seu centro geométrico. Assim, podemos reduzir problemas astronômicos, como por exemplo calcular o modo como atua uma força sobre um planeta ou estrela apenas por saber a localização de seu centro geométrico. Algo que podemos assumir como axiomas da Mecânica Clássica são a homogeneidade e isotropia do espaço, e que este tem a estrutura de um espaço euclidiano tridimensional. A isotropia do espaço expressa que nele não há direções preferenciais para qualquer evento, como, por exemplo, a propagação de um feixe de luz. Não importa em qual direção este esteja, a velocidade será sempre a mesma, c. Concluímos também que o espaço dos movimentos é uma variedade, um Espaço Afim, que é uma estrutura abstrata que generaliza as propriedades geométrica afins do espaço euclidiano, onde podemos somar pontos e vetores para gerar outros pontos, somar e subtrair vetores etc. Em particular, não existe nenhum ponto que pode ser distinguido como origem. Apesar de não precisar de uma estrutura métrica (que fornece noções de distância) e estrutura conforme (que preserva ângulos), o espaço com o qual estamos lidando as possui. Assim, este é um espaço métrico onde podemos definir os produtos escalar e vetorial como os usuais, para os quais a base pode ser escolhida à vontade. Na mecânica clássica, o tempo desempenha um papel especial. O tempo é uma quantidade em mecânica clássica que não depende do observador nem de nada mais. Seguese a definição dada por Sir Isaac Newton do tempo em seu Pricipia:

“O tempo absoluto, verdadeiro e matemático, por sua

própria natureza, não tem referência com nada que lhe seja externo; flui de modo uniforme, e um outro nome a ele dado é “duração”. O tempo relativo, aparente e comum é algo sensível, mensurável (precisa ou imprecisamente),de duração em termos do movimento; tais medidas, como por exemplo, o mês, o dia, a hora são tomadas ao invés do próprio tempo.”

Para refinar o conceito, podemos definir o tempo passado no “relógio de uma partícula” percorrendo sua trajetória como sendo o tempo próprio. Suponha que haja um observador em repouso num referencial (B). Então, o tempo no referencial (B) em função do tempo próprio τ pode ser dado por:

Onde α(B) é a constante positiva que indica a unidade de tempo escolhida para o relógio de (B), enquanto β(B) indica a discrepância entre as origens dos tempos. Da equação (I), derivando duas vezes ambos os membros com relação a τ, obtemos que:

Que independe de dos parâmetros acima mencionados. Enquanto (I) mostra a relação entre o tempo em dois referenciais, (I) indica algo valioso, de interesse a todos os possíveis observadores. Concluímos assim que o tempo pode ser descrito por um espaço afim unidimensional, ou, após escolhermos a origem, pela própria reta real (um espaço vetorial). Dadas todas as definições necessárias, enunciemos as famosas três leis de Newton:

I – Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme a não ser que seja compelido por alguma força a alterar seu estado; I – A mudança de movimento é proporcional à força aplicada e se dá na direção da reta ao longo da qual a força atua;

I – Para toda ação existe sempre uma reação igual e contrária; ou ações mútuas entre dois corpos quaisquer são iguais e se dão na mesma direção da mesma reta.

Observação: Trajetória de um corpo

A trajetória pode ser definida como o caminho descrito por um corpo no espaço. A trajetória r(t) é muitas vezes escrita em termos do sistema de coordenadas em questão, como, por exemplo, cartesiano (x(t),y(t),z(t)), esférico (r(t),@(t),θ(t)), ou qualquer outro sistema de coordenadas conveniente ao problema estudado. O vetor velocidade é sempre tangente à trajetória e, portanto, se encontra sobre o espaço tangente do espaço das posições, no ponto r. Se r ε R3 então o espaço tangente é também um R3, e pode ser identificado com o espaço das posições.

1.1.2 Movimento Retilíneo Uniforme e Sistemas Inerciais

Algumas definições fazem-se necessárias: Se conhecermos a função x(t), segue-se dela a velocidade:

E desta, por sua vez, segue-se a aceleração:

DEFINIÇÃO: Um movimento é dito retilíneo uniforme se é um estado de movimento com velocidade constante e aceleração nula por conseqüência:

A trajetória s de uma partícula neste movimento tem a forma:

Onde s0 denota a posição inicial, v a velocidade (que é constante), e ∆t o tempo decorrido.

A primeira lei de Newton define uma classe de referenciais, os referenciais nos quais a 1ª lei de Newton tem a seguinte forma:

São chamados referenciais inerciais.

1.1.3 Referenciais Inerciais em Movimento Relativo

Seja S um referencial inercial. Qualquer referencial S’ se movendo com velocidade constante com relação a S é também inercial.

Prova: O vetor posição r(t) com respeito a S se torna r’(t)=r(t)-vt com respeito a S’. Como v é constante segue-se que a’(t)=a(t)=0. Todos os movimentos livres de forças obedecem à equação diferencial: , portanto ambos inerciais. □

1.1.4 Momentum e Força

Na segunda lei de Newton, nós identificamos “movimento” com o momentum:

i.e., o produto da massa inercial e velocidade momentânea. A segunda lei de Newton pode ser escrita como:

Na terceira lei de Newton a noção de “ação” é equivalente à força interna que um corpo exerce em outro. Considere um sistema finito de partículas com massas mi e vetores posição ri(t), i=1,2,3,...,n. Seja Fik a força exercida pela partícula i sobre a partícula k. Então Fik = -Fki . Forças desta natureza são ditas forças internas. Esta distinção faz- se necessária se quisermos descrever as interações com mais corpos, objetos externos. A estas forças denominamos forças externas. Isto tem muito significado, por exemplo, quando as forças externas são negligenciáveis.

A figura a seguir mostra um bom exemplo da 3ª lei de Newton em ação:

1.1.5 Espaço, Tempo e Forças

O espaço em que as leis de Newton se dão é um espaço euclidiano, E3, onde a geometria euclidiana usual pode ser utilizada. A priori, este é um espaço afim. Escolher a origem o torna um espaço vetorial. As características importantes deste espaço são a sua homogeneidade ( o espaço se parece o mesmo em qualquer porção dele) e a sua isotropia (não existem direções preferenciais). O tempo é unidimensional e pode ser representado pelo conjunto ordenado dos números reais, R, o que torna possível uma distinção entre o “antes” e o “depois”, passado e futuro. Combinando a posição momentânea de uma partícula e o momento que toma, obtemos o que chamamos de evento,

Que é um ponto no espaço-tempo combinado contínuo. Esta definição é muito importante para a mecânica relativística.

1.1.6 O Sistema de Dois Corpos com Forças Internas

Para facilitar a resolução do problema de dois corpos, nós definimos o centro de massa, R,

Isto quer dizer que a aceleração do centro de massa é nula, isto é, ele se move com velocidade constante. Definamos:

Donde tiramos:

Definindo a massa reduzida do sistema como sendo:

Então:

Com estas definições e simplificações, pudemos reduzir o problema de dois corpos ao movimento de uma partícula localizada no centro de massa, com massa igual à massa reduzida do sistema.

1.1.7 Apêndice: O Problema de Kepler

No caso da interação gravitacional, a força tem a lei:

Onde r = r1 - r2 e r = |r|, do qual segue a equação do movimento do centro de massa:

Como sabemos, a gravidade é uma força central, portanto pode ser derivada do potencial:

De fato, seja:

então

Como temos o vetor r paralelo ao vetor força, F sempre, segue-se que F.r = F.r, e que:

Que por sua vez, é o mesmo que:

Tomando como origem (ou ponto de referência o infinito, isto é, r’= ∞), segue que:

Ou, mais simplesmente:

Com A = G.m1.m2. Definamos:

Onde f(r) é uma função contínua em r = | r |. Como r0 é um valor arbitrário, segue-se que U (ro) é constante. Tomando o gradiente em ambos os membros e sabendo a representação de | r |em coordenadas cartesianas, i.e.,

Segue-se que:

Pela regra da cadeia, vem:

Que, por sua vez, pode ser visto como:

É fácil mostrarmos que:

Assim, podemos concluir que:

Do Teorema Fundamental do Cálculo, temos que:

Logo,

O que implica na força ser conservativa (a força é um campo gradiente).

DEFINIÇÃO 1: O momento angular orbital pode ser definido matematicamente da seguinte forma:

Onde p = mv , e por propriedade do produto cruzado segue que L = r x mv = mr x v . Mas m=µ, então:

Como a força é central, o momento angular se conserva, pois não há torque:

Por um lado, o vetor velocidade é paralelo ao vetor velocidade, disso segue que a primeira parcela se anula. Na outra mão temos que a derivada da velocidade na segunda parcela é nula, pois por hipótese o centro de massa não está acelerado. Assim, τ = 0. Assim, como não há torque, o vetor momento angular se conserva, em módulo, direção e sentido, isto é, o movimento se dá num plano que é perpendicular a L. Assim nos aprouve escolhermos coordenadas mais adequadas ao nosso estudo, a saber, as coordenadas polares. Assim:

Assim,

É fácil verificar que as componentes x e y de L são nulas. Então L = Lz, que é, a saber:

Como sabemos, a força é conservativa, logo a energia é conservada, isto é:

A força é o campo gradiente de uma função potencial, assim:

Tomando o produto escalar por r’ em ambos os membros, obtemos:

Observe que: Disso segue que:

Onde o terceiro membro é a taxa de variação da energia potencial no tempo, ou seja, sua diferencial total com relação a este. Se r e U são soluções da equação diferencial acima então elas satisfazem:

Então, se E = T + U, segue-se que:

Com: A equação acima é do tipo:

Que é função da posição e da velocidade. Isto implica:

Onde: Que devidamente desenvolvido em coordenadas polares fica:

Portando, sua derivada é zero, isto é, não há variação de energia mecânica no tempo. Isolando a velocidade, e observando que:

Temos:

Das equações diferenciais acima concluímos duas leis de conservação, a saber:

(i) Conservação do módulo do momentum angular; (i) Conservação da energia total do movimento relativo.

Tomemos agora r = r(@). Dividindo a equação acima pela velocidade angular, segue:

Como já vimos, U( r ) tem a forma -A/r , com A = G.m1.m2. Definamos a função Z(@)=1/r(@) (a recíproca da função r(@)). Assim,

Logo: Mas A/r = Z, então:

Onde nos é conveniente definirmos as seguintes quantidades: DEFINIÇÃO 2:

DEFINIÇÃO 3:

Assim, temos que, elevando ambos os membros da equação (I) ao quadrado, substituindo convenientemente as grandezas acima definidas e completando quadrados, chegamos em:

O que nos sugere a transformação trigonométrica:

Sabendo que Z = 1/r, vem:

Logo, temos a equação da trajetória como sendo:

Que é a equação polar de uma elipse, com um dos focos na origem, com excentricidade igual a:

Logo, a excentricidade depende da energia total do sistema, do momento angular, da massa reduzida do sistema e da energia potencial. O eixo maior da órbita é:

Essa é conhecida como a primeira lei de Kepler (1609 EC):

"O planeta em órbita em torno do Sol descreve uma elipse em que o Sol ocupa um dos focos"

Como ilustra a figura a seguir:

Podemos concluir que, se F é a área do setor, a velocidade do raio vetor que liga o centro do Sol ao centro do planeta é:

Observe a figura:

Que é conhecida como a segunda lei de Kepler (1609 EC): "A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais".

Isto se aplica a qualquer força central, mas apenas no caso de dois corpos (Negligenciamos aqui os efeitos causados pela gravidade exercida pela matéria de outros planetas e corpos celestes). Para compreendermos melhor a situação, é útil voltarmos às coordenadas cartesianas:

Escolhamos C de tal modo que a equação abaixo só tenha termos quadráticos em x:

Para tanto, basta que tomemos:

Pois _<1, pelo fato de a cônica ser uma elipse. Vimos também, que:

Disto segue que: Numa elipse qualquer:

Onde a é o semi-eixo maior, b é o semi-eixo menor e c é a distância focal. A equação da órbita fica, em coordenadas cartesianas:

Agora, três casos são possíveis:

CASO 1: _ > 1, então c2>a2; Neste caso, a equação fica:

Que representa uma hipérbole. O centro de força estará em um dos focos. No caso atrativo (como, por exemplo, se a força for gravitacional), com A e p positivos, o ramo de hipérbole que se descreve em direção ao centro de força (o ramo direito) é o “ramo físico”:

É o que ocorre, por exemplo, com meteoritos que possuem energia positiva, i.e., têm energia suficiente para escapar do campo gravitacional para o “infinito”. O ramo esquerdo é relevante quando se trata de uma força repulsiva, com A<0 e p<0, como por exemplo, a elétrica.

CASO 2: _<1, i.e., c<a. Como é o nosso caso, a energia é negativa, o que implica que o sistema é ligado. A partícula não escapa do campo gravitacional, ou seja, a órbita é finita, portanto, fechada. De fato, é uma elipse com as seguintes propriedades: Semi-eixo maior:

Semi-eixo menor:

Como a órbita é finita, deve ser periódica, como confirmado pela 1ª lei de Kepler. Esta lei só vale para interação gravitacional entre dois corpos. Sabemos, do cálculo, que a área total de uma elipse de semi-eixos a e b pode ser dada por:

Substituindo b conhecido na equação acima, segue que:

Se T denota o período de revolução, a segunda lei de Kepler nos diz que:

Um corolário disso é a terceira lei de Kepler, que relaciona o cubo do semi-eixo maior com o quadrado do período.

Assim,

Donde:

Se negligenciarmos as interações entre os planetas comparadas com sua interação com o Sol, e se m<<MS, obtemos:

"Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos eixos máximos de suas órbitas".

O caso da órbita circular é obtido quando: _ = 0, i.e., quando:

E assim, o raio da órbita é constante e igual a:

CASO 3: _ = 1. Este é um caso particular em que a energia da partícula é zero. Fisicamente, isto significa que a partícula escapa para o infinito, mas “só chega” lá perdendo toda a sua energia cinética, i.e., ele pára. A órbita pode ser expressa por:

Onde c pode ser escolhido à vontade. Tomemos c=0. Teremos:

Vamos agora voltar às suas coordenadas originais. Escolhendo a origem no centro de massa:

Os corpos celestes 1 e 2 se movem ao longo de elipses que são geometricamente semelhantes àquela ao longo da qual as coordenadas relativas se movem. Seu fator de escala é:

O centro de massa S é o foco comum a essas duas elipses.

Onde:

No caso em que m1=m2: No caso em que m1<<m2, então:

Observe a figura abaixo, que ilustra as situações acima:

1.1.8. Centro de Massa e Momento Relativo num Sistema de Dois Corpos

Vimos que as equações do movimento podem ser separadas em dois tipos de coordenadas:

(i) A do centro de massa; (i) A relativa (um ao outro).

De modo análogo, a soma do momento linear e a soma do momento angular podem ser particionadas em duas partes:

(i) Do movimento do centro de massa; (i) Do movimento relativo.

TEOREMA 2: Em particular, a energia cinética total é igual à soma das energias dos movimentos do centro de massa e relativo. Isto é importante para formular as leis de conservação.

DEMONSTRAÇÃO: Seja P o momento do centro de massa e p o momento do movimento relativo. Mais detalhadamente:

Ou, via massa reduzida: Assim,

Isolando p1 e p2, segue:

Mas: Logo,

Multiplicando ambos os lados por: Segue que:

Mas sabemos que p1 = P - p2. Substituindo na equação acima segue que:

Observe que: Substituindo (I) e (I) na equação da energia cinética:

Assim:

Então a energia cinética pode ser escrita como a soma da energia cinética do movimento relativo:

E a energia cinética do centro de massa:

Que é o que queríamos demonstrar. □ Note ainda que não há termos cruzados com p e P. De um modo semelhante, analisamos a soma dos momentos angulares:

Como:

O momento angular também pode ser dividido na soma do momento angular relativo à origem O (que pode ser escolhido arbitrariamente) e o momento angular do momento relativo. O primeiro deles depende da escolha do sistema de referência, o segundo não. Portanto, só nos é relevante aqui o momento angular relativo. Esta é dita a quantidade dinâmica.

1.1.9 Sistema de Partículas em Número Finito

Consideremos n pontos “com massas” m1,m2,...,mn, sujeitos às forças internas Fik (que age entre i e k). Assumimos que as forças internas são forças centrais, i.e., que têm a forma:

Onde, por definição, temos:

Onde Fik(r) =Fki(r) é uma função escalar da distância r. Forças centrais possuem potenciais:

E temos Fik = - gradk Uikr), onde: E o gradiente é dado por:

E as equações do movimento ficam:

Ou, numa notação mais compacta:

Com Fik = -Fki. Com tais hipóteses provamos as seguintes asserções:

1.1.10 Princípio do Movimento do Centro de Massa

O centro de massa S de um sistema de n partículas se comporta como uma única partícula de massa:

Submetido à resultante das forças externas:

Onde temos, por definição:

Este princípio pode ser facilmente deduzido por somar as equações do movimento sobre todas as partículas (os índices variando de 1 a n). As forças internas “se cancelam” aos pares devido à terceira lei de Newton.

1.1.1 Princípio da Conservação do Momento Angular

A derivada temporal do momento angular total é igual à soma de todos os torques externos:

PROVA: Para uma partícula qualquer, de índice fixo, digamos, i, temos:

O membro esquerdo é, pela regra de derivação de produto vetorial, igual a:

Tomando a soma sobre todos os is, segue o resultado que queremos provar. As forças internas se cancelam aos pares porque o produto vetorial é anti-simétrico, enquanto Fik é simétrico. □

1.1.12 Princípio da Conservação da Energia

A derivada temporal da energia total é igual à potência (trabalho por unidade de tempo) das forças externas. Assim:

Onde

PROVA: Para um i fixo, temos: Tomando o produto escalar desta equação pela velocidade, vem:

Tomando a soma sobre todas as partículas:

E isolando os termos i=a, k=b e i=b e k=a com b>a no somatório duplo: Porque Uab = Uba. Disso segue que:

Que é o que queríamos demonstrar.□ 1.1.13 O Sistema Fechado de n-Partículas

Um sistema é dito fechado se não há forças externas.Assim:

Ou:

Com P = cte. Este é o princípio da conservação do momentum: o momentum total em um sistema fechado de partículas se conserva. Assim, também temos que:

O momentum angular total também é também conservado no movimento, por isso sendo chamada de integral do movimento. A soma das energias é:

Em suma, o sistema fechado de n partículas é caracterizado por dez integrais ou constantes do movimento, a saber:

Este conjunto também é conhecido como o conjunto das dez constantes clássicas do movimento de um sistema fechado de n partículas.

1.1.14 Transformações de Galilei

Não é difícil de verificar que a transformação afim g mais geral que leva referenciais inerciais em referenciais inerciais, com relação às coordenadas espaciais deve ter a seguinte forma:

Onde R é uma matriz unitária (neste caso, como estamos trabalhando sobre o corpo dos reais, ortogonal) de ordem 3, i.e.,

O que implica sua transposta ser igual à sua inversa, i.e.: Assim,

Que por propriedade de determinantes:

Pois o determinante de uma matriz e o de sua transposta coincidem. O que implica:

E com relação à coordenada temporal deve ser:

Com λ= -1 ou λ=+1, visto que o tempo não “se acelera”. A matriz R denota neste caso uma rotação, w denota o vetor velocidade (constante), a um vetor constante de dimensão comprimento. Analisamos esta transformação por dividi-la em vários passos, como se segue: 1. Um deslocamento da origem por uma parcela a ;

2. Movimento constante do referencial K’ com relação a K, de tal modo de as origens de K e de K’ coincidam em t=0;

3. Uma rotação, onde o sistema K’ é rotacionado de K de tal forma que suas origens ainda coincidam.

Como apresentado no esquema acima, considere K’ na figura acima como sendo o referencial rotacionado, e K o que permaneceu intacto.

Definimos a direção da rotação como sendo o conjunto de retas paralelas que têm por vetor diretor o único autovetor da transformação R, na figura abaixo representado pelo versor ê:

Quando escrevemos em componentes a equação R.r=r’, temos que: Ou, em termos de somatórios:

Como se trata de uma transformação ortogonal, i.e., de uma isometria, ela preserva norma:

Assim, temos por um lado:

Onde:

Onde os índices são rebatizados para efeito de evitar confusão. Assim: (i)

Que por definição de grupo de rotação deve ser igual a :

(i) Pois,

(i) Ou:

Onde R é uma matriz ortogonal de ordem 3, o que implica no valor de seu determinante ser +1 ou -1, como vimos. As equações (i).(i), (i) e (iv) acima nos apresentam 6 condições para a matriz de 9 elementos . Portanto, R depende de 3 parâmetros livres, por exemplo, a direção ê sob a qual K’ é rotacionada com respeito a K, a qual é dada por ângulos polares (β,@) e o ângulo θ pelo qual K deve ser rotacionado para obter K’.

4. Uma mudança na origem dos tempos por uma quantia fixa s:

Agrupando todos os quatro passos acima, visualizamos a transformação mais geral como sendo:

Com, inicialmente, det R = +1 e λ = +1 , dependendo de 10 parâmetros reais, pois:

Onde θ e ê aludem à rotação.

Existem tantos parâmetros nas transformações de Galilei quanto há constantes no movimento do sistema fechado de n partículas. As transformações g com a operação de composição formam um grupo, o grupo próprio e ortocrônico de Galilei, representado por

Para demonstrar este fato, consideraremos primeiramente a composição de duas transformações subseqüentes desta espécie. Temos:

Escrevendo a transformação de r0 para r2, da mesma forma, Que contém as seguintes relações:

Mostra-se explicitamente que essas transformações formam um grupo por verificarem os axiomas de grupo:

1. Existe uma operação definindo a composição de duas transformações de Galilei:

2. Essa composição é uma operação associativa. Isto se dá porque a multiplicação e adição de matrizes também o são:

3. Existe um elemento unidade:

Com a propriedade:

Para toda transformação no grupo.

4. Para toda transformação g no grupo, existe uma transformação inversa, g-1, tal que g o g-1 = E.

Tornar-se-á claro, posteriormente, que há uma conexão bem mais profunda entre os parâmetros do grupo próprio e ortocrônico de Galilei e as constantes do movimento de um sistema fechado de n partículas, e que não é ao acaso que existem exatamente dez integrais. Aprenderemos que a invariância de um sistema mecânico sob:

(i) Translações temporais:

implicam a conservação da energia total, E, do sistema. (i) Translações espaciais:

implicam a conservação do momento total P do sistema (as componentes de a correspondem às componentes de P no sentido que o sistema é invariante apenas sob translações ao longo de uma direção fixa, então apenas a projeção de P sobre aquela direção é conservada; (i) Rotações :

Sob uma direção fixa implica a conservação da projeção do momento angular total L naquela direção.

As asserções de (i) a (i) são o conteúdo de um teorema da matemática alemã do início do século X, Amalie Emmy Noether, que será provado e discutido posteriormente. Finalmente, é fácil se convencer de que no centro de massa, a quantidade:

Permanece invariante sob a transformação r’ = r + w.t. Concluímos esta seção considerando as escolhas: det R = - 1 e λ = -1, que até agora ignoramos. Na transformação de Galilei:

A escolha λ=-1 corresponde à reflexão na direção do tempo, ou reversão temporal. Sejam os fenômenos físicos invariantes ou não sob tais transformações, é uma questão cuja importância sobrepuja o escopo da mecânica. É facilmente verificável que todos os exemplos considerados até agora são, de fato, invariantes. Isto porque as equações do movimento contêm somente a aceleração que é invariante por si própria e funções de r, .

Por a velocidade muda de sinal, i.e., Portanto, o momento p , e também o momento angular l mudam de sinal. O efeito da reversão temporal é equivalente ao da reversão do movimento. Todas as órbitas físicas podem se dar em ambas as direções, progressiva e regressiva. Todavia, existem exemplos de sistemas físicos que não permanecem invariantes sob a reversão temporal. Estes são os sistemas que contêm forças fricativas proporcionais à velocidade, e cujas equações do movimento são da forma:

Com a reversão do tempo o amortecimento causado pelo segundo termo na equação se converteria em aumento da amplitude de tal movimento, i.e., para um processo físico totalmente diferente. Já a escolha det R = -1 significa que a rotação contém uma reflexão. De fato, cada R com det R = -1 pode ser escrita como o produto de uma reflexão espacial (ou paridade) P:

Com o de uma matriz de rotação R’, cujo determinante é a unidade positiva., R =P.R’.P. P transforma o sistema de coordenadas dextrógiro em sinistro.

1.1.15 Espaço e Tempo com Invariância de Galilei

(i) A invariância das leis da mecânica sob translações (a) é uma manifestação da homogeneidade do espaço físico tridimensional; invariância sob rotações (R) é uma manifestação de sua isotropia. Queremos levar esta discussão aqui um pouco mais longe. Imagine que observamos o movimento do Sol e de seus planetas sobre um referencial inercial K0. Neste referencial nós estabelecemos as equações do movimento, e por resolvê-las, obtemos as órbitas como funções do tempo. Outro observador que está em um referencial inercial K deslocado e rotacionado em comparação a K0 descreverá o mesmo sistema planetário por meio das mesmas equações do movimento. As soluções explícitas parecerão diferentes neste sistema, porque as mesmas físicas são vistas substituindo em um diferente ponto do espaço com uma orientação espacial diferente. Seja como for, as equações do movimento que o sistema obedece, i.e., as equações diferenciais básicas, são as mesmas em ambos os referenciais. É claro que, o observador em K pode também escolher o seu tempo zero diferente daquele de K0, sem mudar nada na física que acontece. Isto é neste sentido que o espaço e o tempo são homogêneos e que o espaço, além disso, é isotrópico. Finalmente, também é admissível deixar que os dois sistemas K e K0 se movam com velocidade w constante com respeito um ao outro. As equações do movimento dependem apenas das diferenças das coordenadas dos vetores, , portanto não mudam. Em outras palavras, o movimento físico é sempre um movimento relativo. Até aqui nós usamos a interpretação passiva (que só muda as coordenadas, e não a Física do sistema) das transformadas de Galilei: o sistema físico (o Sol e seus planetas) são dados e os observamos de diferentes referenciais inerciais. De certo, podemos também escolher a interpretação ativa ( transformações ativas mudam o estado físico do sistema e fazem sentido mesmo na ausência de sistemas de coordenadas), i.e., eleja-se um sistema de coordenadas e pergunte-se se as leis dos movimentos continuarão as mesmas, independentemente de onde ocorre o movimento, como as órbitas estão orientadas no espaço e se o centro de massa está em repouso com relação ao observador ou se este se move com velocidade constante w.

[Outro modo de expressar a interpretação passiva é este: um observador localizado num ponto A do universo abstrairá as mesmas leis fundamentais do movimento dos corpos celestes, do mesmo modo que um observador localizado num ponto B do universo. Para a interpretação ativa, por outro lado, poderíamos pedir a um físico em B para levar a cabo seus experimentos, bem como a um físico que estivesse em seu laboratório localizado em A. Se eles obtêm os mesmos resultados e chegam às mesmas conclusões, sob  as condições de posição relativa (ou movimento) de seus referenciais definidos acima, a física é dita Galilei-invariante.]

(i) Suponha que estamos considerando dois eventos fisicamente conectados, (a) e (b), o primeiro destes se dá na posição x(a) no instante t(a), enquanto o segundo se dá na posição x(b) no instante t(b). Por exemplo, atiramos uma pedra no campo gravitacional terrestre de tal modo que no instante t(a) ela parte de x(a) com certa velocidade inicial e chega a x(b) no instante t(b). Parametrizamos a órbita x que conecta x(a) e x(b), e também a variável temporal por:

Onde τ é um parâmetro escalar ( o tempo próprio). O tempo que um relógio movendo-se simultaneamente mostrará não tem zero preferencial. Além disso, pode ser medido em unidades arbitrárias. A relação mais geral entre t e τ é então t(τ)=α.τ+β, com α e β constantes reais. Expresso na forma diferencial isto quer dizer que d2t/dτ2=0. Similarmente a órbita x obedece à equação diferencial:

Com dt/dτ =α e onde f é menos a força dividida pela massa (i.e., aceleração). A comparação dessas equações diferenciais mostra a assimetria entre o espaço e o tempo que notamos antes.. Sob as transformações de Galilei, t(τ)=α.τ+β se torna t’(τ)=α.τ+β+s; isto é, , diferenças de tempo como (t(a)-t(b)) permanecem inalteradas. O tempo t(τ) decorre linearmente em τ, independentemente do referencial inercial que escolhemos. Neste sentido a variável tempo da mecânica não relativista tem um caráter absoluto. Esta afirmação não se aplica às coordenadas espaciais, como se tornará claro.

Fonte:http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAehAAD/mecanica-newtoniana

prof: elionai

EEM Vicente de Paulo da Costa

 lei da inércia e os terremotos

O princípio de funcionamento do sismógrafo tem como base a primeira lei de Newton. Sendo assim, existe uma relação básica entre a primeira lei da inércia e os terremotos.

Um sismógrafo serve para medir vibrações do solo, ou seja, é usado para estudar terremotos

Sabemos que a Primeira lei de Newton, também conhecida como Lei da Inércia, diz que um corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou movimento retilíneo uniforme, a menos que uma força externa atue sobre ele. Esse princípio é usado para construir instrumentos que podem medir movimentos rápidos da Terra, como, por exemplo, os terremotos, tremores e outras vibrações que ocorrem na crosta terrestre. Basicamente podemos dizer que o princípio de funcionamento de um sismógrafo é o da inércia. De acordo com a figura acima, podemos ver que a base do sismógrafo está fixada no solo, exatamente no ponto onde se pretende medir as vibrações. Nessa base, um tambor gira vagarosamente, com um papel de gráfico. Um braço articulado liga-se a um eixo vertical por um sistema de rolamento com muito pouco atrito. Ele é livre para girar sobre o eixo vertical que está preso à base do instrumento. Sobre o braço é colocada uma massa “grande” e uma caneta. Uma mola restauradora muito fraca ajuda a manter o braço em posição. Veja na figura acima. Quando acontece uma vibração do solo na direção do eixo do tambor, a base do instrumento tende a acompanhar esse movimento. O braço, por sua vez, não se move, pois pouca força pode ser transmitida nessa direção pelo sistema de rolamentos que se liga ao eixo. A massa quase não se desloca. Ocorre um movimento relativo entre o tambor e a caneta, que vai registrar a amplitude do movimento. Os instrumentos modernos (tambor e caneta) são substituídos por um sistema eletrônico que envia o sinal do deslocamento relativo a um computador. O sismógrafo é utilizado não só para detectar tremores de terra, mas também na prospecção de petróleo e no mapeamento do terreno abaixo da superfície. Os tremores são artificialmente causados pela explosão de dinamite num ponto do terreno. Coloca-se uma série de sismógrafos espalhados pela região que se quer mapear. Pelas medidas das vibrações em cada ponto do terreno, pode-se ter uma ideia de como é sua morfologia interior, quais as camadas presentes, se existem condições de formação de petróleo ou se há grandes rochas. A constituição interna da Terra foi, em grande parte, descoberta pela análise dos dados colhidos por sismógrafos espalhados pelo mundo, que mediram as vibrações provocadas por terremotos. As vibrações de terremotos (ondas sísmicas) são de vários tipos e revelam a densidade e a constituição do interior da Terra. Pelo tempo de propagação e pela intensidade detectada, podemos determinar a densidade do material percorrido pelas ondas sísmicas.

Fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/a-primeira-lei-inercia-os-terremotos.htm

Prof Anderson de Sousa

EEM Tomaz Pompeu de Sousa Brasil

Airbags

O airbag é formado basicamente de três partes: um saco inflável de material plástico, um gerador de gás dotado de sensores com microprocessador e um sistema de disparo elétrico.

Em caso de colisão, o airbag infla instantaneamente, protegendo o motorista

Hoje, constantemente vemos nos veículos de comunicação que tem crescido o número de acidentes de trânsito, sejam eles provocados por falhas humanas, pela falta de conservação de estradas ou por falhas mecânicas dos automóveis. O que vemos é que cada vez mais a indústria automobilística está sendo forçada, tanto por medidas reguladoras dos governos quanto por questões de marketing, a adotar mecanismos de segurança que possam proteger de forma mais adequada os passageiros dos veículos em casos de colisão. Se observarmos bem, as medidas mais comuns que as indústrias estão tomando são em relação à construção de carros com estruturas mais seguras, como airbags, cintos de segurança mais reforçados e eficientes e assentos mais seguros.

Quando ocorre uma colisão, seja entre dois veículos ou entre um veículo e uma estrutura fixa (muro, por exemplo), sempre ocorre uma variação na quantidade de movimento dos ocupantes do carro. Por exemplo, vamos supor que a massa total (carro + passageiros) de um veículo seja de 800 kg e que ele esteja a uma velocidade de 15 m/s (54 km/h). A quantidade de movimento desse conjunto é de 12.000 kg.m/s. Um motorista que possui massa de 70 kg, dentro do carro, terá uma quantidade de movimento de 1.050 kg.m/s. Vamos supor agora que o carro colida com um muro. Em tempo muito curto, a velocidade vai a zero e, assim, o impulso que o motorista sofre deverá ser de 1.050 kg.m/s, que nada mais é do que sua variação da quantidade de movimento. Quanto maior a velocidade do veículo antes da colisão, maior o impulso necessário para parar o motorista. A maneira como o veículo é construído é um fator determinante para a segurança dos seus ocupantes. A indústria procura desenvolver projetos que permitam um tempo de colisão maior possível, já que para cada colisão o produto .∆t será constante. Quanto maior o tempo da colisão, menor será a força e, por conseguinte, menor será a chance de danos ao ocupante do carro. Além de aprimorar a estrutura do carro, dispositivos de segurança também podem ser instalados.

Um dos equipamentos mais eficientes para evitar lesões em batidas é o airbag. Colocado entre os bancos da frente e o painel ou nas laterais, ele infla rapidamente quando ocorre uma desaceleração violenta. No caso de colisões frontais, o motorista se choca contra o airbag, que é muito mais flexível que o painel. Considere duas colisões idênticas, mas leve em conta que em apenas uma das situações o carro possui airbag. A colisão motorista x airbag tem uma duração muito maior do que a colisão motorista x painel. Para os dois casos, a variação da quantidade de movimento do motorista é a mesma, mas o tempo que este leva para parar é muito maior na situação com airbag, resultando, assim, em menor força. Em termos numéricos, o airbag pode aumentar o tempo de colisão em até dez vezes. Tempos típicos de parada seriam 0,05 segundo sem airbag­ e 0,5 segundo com airbag. Com esses tempos e os dados acima teríamos para o motorista:

p_antes=m.v_antes

p_antes=70 x 15=1.050 kg.m/s

p_depois=0

∆p=0-1.050=-1.050 kg.m/s

A força que atua no motorista é dez vezes menor quando comparamos a situação com e sem airbag. A força calculada acima é a força média que atua durante o intervalo de tempo que dura a colisão com airbag ou com o painel.

fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/airbags.htm

Prof Anderson de Sousa
EEM Tomaz Pompeu de Sousa Brasil

           A Mecânica é o ramo da Física que estuda o movimento. É habitual considerar as seguintes sub-divisões da Mecânica:

• Cinemática - trata da descrição do movimento sem considerar suas causas;
• Estática - investiga as condições de equilíbrio dos corpos;
• Dinâmica - relaciona o movimento de um corpo e suas interações com outros corpos.  

                                                                    Emanuel Bento

O que é uma força fictícia (Forças de Inercia)?

 Vamos começar lembrando a Primeira Lei de Newton, ou Lei da Inércia. Ela afirma que:

Um corpo que não está sob a ação de nenhuma força deve estar em repouso ou em movimento retilíneo com velocidade constante.

A recíproca é verdadeira: se o corpo estiver sob a ação de uma força deverá estar acelerando. Isto é, sua velocidade deverá estar variando de valor, ou de direção, ou ambas as coisas.

A melhor forma de entender uma lei como essa é sentir seus efeitos. Uma pessoa que está em um carro que freia subitamente é lançada para frente. Qual foi a força que empurrou essa pessoa? Nenhuma. Simplesmente o corpo da pessoa segue a Lei da Inércia e, enquanto não surgir alguma força que o impeça, continua sua trajetória para frente com a mesma velocidade com que vinha, prosseguindo até que encontra um obstáculo, talvez o parabrisa do carro.

Há uma tendência natural do pobre passageiro de achar que foi impelido para frente por uma força de origem desconhecida. Mas, a interpretação correta pela Lei da inércia é outra. O carro sofreu uma força que o fez parar, talvez uma freiada súbita e inesperada. Já o corpo do passageiro, que não sofreu diretamente a ação dessa força, tende a continuar se deslocando para a frente. Isto é, ele se move em relação ao carro por não ter nenhuma força que o impeça.

Coisa semelhante ocorre se o carro fizer uma manobra brusca e o passageiro for projetado para fora. Alguma força age sobre o carro, talvez o atrito nas rodas, tirando-o de sua trajetória retilínea original. É o que se costuma chamar de "derrapagem". Já o passageiro, como no caso anterior, não estando sob a ação dessa força, tende a continuar em sua trajetória reta. É lançado contra a porta e, se essa abrir, é jogado para fora.

Na animação vemos uma reta amarela que indica a trajetória do corpo do passageiro. Como no caso anterior, o passageiro continua em sua trajetória retilínea por não sofrer a ação da força que desviou o carro. Do ponto de vista de outra pessoa dentro do carro, esse passageiro parece ter sido lançado para fora por alguma força estranha e inexplicável.

A palavra chave nesse relato é "parece". Para explicar o fato do passageiro ser ejetado pela porta do carro essa outra pessoa supõe a existência de uma força que empurrou o passageiro para fora. Ela até dá um nome a essa "força", chamando-a de "força centrífuga". Quem está de fora sabe que essa força é mera ilusão na cabeça de alguém que está em um sistema girante (o carro). Quem está fora do carro está em um sistema fixo, dito "inercial", e sua interpretação, baseada na Lei da Inércia, indica que a "força centrífuga" simplesmente não existe.

A "força centrífuga" é um exemplo típico de uma força fictícia, que parece existir para quem está em um sistema acelerado, como o carro que derrapa. Sempre que a gente está em um sistema acelerado costumam surgir essas "forças fictícias" decorrentes de uma "falha" de interpretação. Como veremos a seguir, uma dessas forças fictícias é a "força de Coriolis", que pode se manifestar em sistemas que estão em movimento de rotação.

Liceu de Acaraú - Daniel Rios

...CURIOSIDADE... 

Por que é que quando você está sentado, distraído, no seu carro parado, e o carro ao lado começa a andar, você nunca sabe de imediato se é o seu ou o outro e você mete assustado o pé no freio?

Isso acontece porque os conceitos de repouso e movimento, além de serem relativos a um referencial, também são simétricos. Vamos supor, por exemplo, um automóvel dirigindo-se frontalmente contra um muro, e que seu velocímetro esteja marcando 120 km/h. Tomando o muro como referencial, é o automóvel que se move a 120 km/h. Porém , se tomarmos o automóvel como referencial, o muro é que se moverá de encontro a ele, a 120 km/h. Muitas vezes, as pessoas estranham isso porque estão habituadas a usar sempre o solo como referencial. Porém, quando se distraem, passam a aceitar com maior naturalidade o caráter relativo e simétrico dos conceitos de movimento e repouso.

        Voltando à questão proposta, em relação ao solo, meu carro está em repouso. Se o carro ao lado do meu está se movimentando em relação ao solo, ele também está se movimentando em relação ao meu carro. Assim, por simetria, meu carro também se move em relação a ele. Embora meu carro esteja em repouso em relação ao solo, ao olhar para o carro ao lado estou em movimento, por que ele passa a ser meu referencial e isso me dá a sensação de também estar em movimento em relação ao solo. Por isso, piso no freio.

EEM Prof^a Marieta Santos - Prof. Francigleison  Pontes

 

INTRODUÇÃO AO ARGUMENTO DA TORRE E A FÍSICA DO IMPETUS

  

Os aristotélicos defendiam que ao lançar uma fecha (ou pedra) verticalmente para cima ela sempre retornaria ao ponto do qual ela foi lançada, para eles isso não seria possível se a Terra girasse, uma vez que ao girar a Terra deixaria tal fecha (ou pedra) atrás de si.

Mais tarde surgiram os argumentos de Nicolas Oresme (1323?-1382) e de Nicolau Copérnico (1473-1543) que violavam essas idéias da física aristotélica sobre dinâmica terrestre e dinâmica celeste. Uma vez que para Aristotéles cada corpo simples tem um único movimento natural – o qual, no caso do elemento terrestre, é retilíneo e para baixo. Já para Oresme e mais tarde Copérnico cada corpo simples podia possuir um duplo movimento natural, circular (quando em seu lugar natural) e retilíneo (quando fora dele).

Até mesmo Galileu por volta de 1592, no seu Trattato della sfera ovvero cosmografia, apresenta a experiência da flecha, de uma pedra lançada do mastro de um navio em movimento e de uma pedra lançada do topo de uma torre, como umas das principais razões pelas quais se poderia acreditar que a Terra é completamente estacionária, concordando com as opiniões de Aristóteles e de Ptolomeu. Cinco anos depois (em 1597) ele se converte ao copernicanismo.

 O argumento da torre é baseado na experiência de uma pedra lançada do topo de uma torre, e é discutido longamente por Galileu no seu livro, “Dialogo sopra i due massime sistemi del mondo – Tolomaico e Copernicano” (1632), que é um livro dirigido ao grande público. Ele se estende por quatro dias sucessivos e é mantido por três debatedores: Salviati , Simplicio e Sagredo. Sendo o argumento da torre apresentado no segundo dia do Dialogo nas seguintes palavras de Salviati (um revolucionário copernicano):

“Como a mais forte razão de todas (contra o movimento da Terra) é adicionado que os corpos pesados, quando caem de uma certa altura, seguem uma linha reta perpendicular à superfície da Terra. Este é considerado um argumento irrefutável em favor da imobilidade da Terra. Com efeito, se a Terra efetuasse rotação diária, um a torre de cujo topo uma pedra fosse lançada, sendo carregada pelo giro da Terra, se deslocaria muitas centenas de braças a leste durante o tempo que a pedra consumisse em  queda, e a pedra deveria colidir com a Terra àquela distância da base da torre.”

E, então, no decorrer dos quatro dias do Dialogo, Galileu afasta a idéia de que a Terra está estacionária, introduzindo o seu princípio da relatividade e de inércia, combinados com sua análise dos movimentos das pedras caindo e dos movimentos compostos.

Em seu Dialogo, Galileu tenta desenvolver uma nova mecânica que enriqueça a teoria astronômica de Copérnico, introduzindo, para tanto, novos conceitos de caráter aparentemente especulativo que acabam por abalar a velha dinâmica aristotélica. Contudo coube a Newton o desenvolvimento da nova teoria do movimento.

A mecânica desenvolvida por Galileu parecia menos abrangente que a dinâmica aristotélica, porém foi suficiente para romper com a idéia aristotélica de movimento, segundo a qual o movimento é um processo de mudança “um processo no qual o móvel nunca se acha no mesmo estado. Todavia, a nova concepção de movimento está no cerne do princípio da inércia de Galileu, já que o movimento, sendo um estado não necessita de uma causa (ou força) para mantê-lo. Uma força só se fará necessária para transformar o estado de movimento de um dado corpo no estado de repouso, e vice-versa.

Historiadores da Ciência defendem que é evidente que a nova concepção de movimento e algumas outras idéias presentes nos primeiros trabalhos de Galileu, serão importantes para a determinação da sua futura visão inercial, como a análise da queda dos corpos e do movimento no vazio. Mas, por outro lado, fica claro a contribuição de alguns nomes importantes como Philoponus (século VI) e o árabe espanhol Avempace (1106-1138) que de maneira análoga defendiam que a velocidade de queda era determinada pela diferença – não pela razão, como propunha Aristóteles – entre o peso do corpo e a resistência do meio através do qual ele cai.

No De Motu (1589-1592) Galileu parece está em divida também com Archimedes tanto no seu conteúdo como na sua metodologia oxiomática, segundo notou Allan Franklin.

Ainda no De Motu, Galileu faz explicação para o movimento de projéteis que por sua vez é bastante parecido com àquela desenvolvida por Philoponus e mais tarde por Francisco de Marchia, que supunham que alguma força motriz incorpórea era cedida pelo propulsor ao projétil, força esta que não era uma coisa de natureza permanente, mas desaparecia até mesmo no vazio. Daí, a física do impetus é incompatível com o princípio da inércia e com o método matemático.

Além disso, a teoria do impetus foi largamente discutida no século XVI, particularmente na Itália, assim Galileu deve ter conhecido as idéias de Philoponus, Avempace, Buridan, Oresme e Albert Saxony, de modo que este conjunto de idéias constituiram um passo adiante para o princípio da inércia.

Certamente, Galileu deu um importante passo para a evolução da Ciência, tanto em seus experimentos envolvendo a torre como em sua física do impetus, muito embora esta seja mais um efeito e medida do movimento. Muito embora Galileu não tenha chegado à afirmação clara e corretas destes princípios que aqui foram mencionados.

Foram de uma brilhante genialidade os levantamentos de Galileu, a ponto de causar polêmica entre os físicos de sua época inserindo no contexto histórico uma nova visão de mecânica.

Por fim, as contribuições de Galileu para a Ciência nos mostraram indiretamente a importância de idéias anteriores na construção de uma nova visão.

  

EEM São Francisco da Cruz - Wanglêsio S. Farias.

MECÂNICA

 

Geralmente a Mecânica é a primeira parte da física a ser estudada. É a ciência que estuda os movimentos. No ensino médio, a Mecânica é dividida em três grandes partes para poder ser melhor estudada: Cinemática, Dinâmica e Estática.

 

Cinemática

Trata-se da descrição geométrica do movimento, não investigando as causas ou fatores que explicam os mesmos. As grandezas cruciais da Cinemática são somente o comprimento (L) e o tempo (T).

Dinâmica

Investiga os fatores e causas que produzem ou mudam os movimentos, ela traduz as leis que explicam os movimentos. As grandezas essenciais da Dinâmica São o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M).

Estática

É a parte da Mecânica que estuda o equilíbrio dos corpos e também dos fluídos.

FUNDAMENTOS DA CINEMÁTICA

Ponto Material

Quando estudamos o movimento de um corpo, muitas vezes é necessário levarmos em conta o seu comprimento, a sua largura e a sua altura. Porém, em certos casos, essas dimensões (comprimento, largura e altura) são muito pequenas em relação ao percurso que esse corpo vai descrever; aí então, desprezamos essas dimensões e consideramos o corpo como se fosse um ponto material. 

Móvel

 

É muito comum no desenvolvimento teórico ou no enunciado de um exercício, falarmos em corpos que estão associados ao nosso cotidiano, como o movimento de uma pessoa, de um automóvel e assim por diante. Muitas vezes, não há necessidade de se especificar qual é o corpo que está em movimento, se é uma moto, um carro ou uma bicicleta, então o chamamos genericamente de móvel. 

Referencial

 

Para descrever o movimento, o observador deve definir um sistema de referência ou referencial em relação ao qual o móvel será analisado. 

Movimento e Repouso

 

Dizemos que um corpo se encontra em movimento, sempre que a sua posição se modificar, no decorrer do tempo, em relação a um certo referencial.

Dizemos que um corpo se encontra em repouso, sempre que a sua posição se mantiver (for a mesma), no decorrer do tempo, em relação a um certo referencial. 

Trajetória

Consideremos um móvel que esteja em movimento para um dado referencial. Portanto, a posição desse móvel, em relação ao referencial, altera-se no decorrer do tempo.

Se unirmos as sucessivas posições do móvel por uma linha contínua, obteremos a trajetória descrita pelo móvel para o referencial adotado.

Luciana Kelly - E.E.E.P. Júlio França

Origens da Mecânica

Instituto de Física da USP (Universidade de São Paulo)

É muito difícil estabelecer com precisão as origens da Mecânica. O que é certo, como se verá a seguir, é que sua origem está intimamente ligada às origens da Astronomia, que é a parte das ciências que trata da observação dos corpos celestes.

Os movimentos dos corpos celestes têm sido observados e analisados com grande interesse por todas as civilizações ao longo da história da humanidade. Esse interesse era motivado tanto pela curiosidade e temores do homem sobre o mundo que o rodeava como pelos interesses religiosos, sócio-econômicos e militares.

Alguns aspectos das atividades humanas na Antigüidade eram regidos pelo que ocorria "nos céus". A periodicidade desses movimentos tornava alguns eventos previsíveis e sugeriu uma forma de o homem marcar o passar do tempo. Daí o surgimento dos calendários e dos relógios. O aparecimento de um astro numa determinada época do ano poderia, por exemplo, tanto indicar um bom momento para se iniciar uma guerra quanto ser um indício, para os agricultores, da época mais adequada para se iniciar o plantio. Os calendários foram construídos por diferentes civilizações e são baseados no movimento dos astros celestes. Os calendários já eram conhecidos pelos antigos egípcios. Atribui-se a eles a divisão do dia em 24 horas. 

Poderia se definir como a fase preliminar da Mecânica aquela em que o ser humano se apercebeu da existência dos movimentos, tanto no céu como na Terra. Esta primeira fase foi, portanto, essencialmente de observações. Procurava-se, nessa fase, tirar vantagens da regularidade dos movimentos dos astros.

A próxima fase da Mecânica seria aquela na qual se procura entender os movimentos incorporando a esse processo de entendimento uma certa racionalidade. Nesse contexto é que se coloca a filosofia natural dos gregos. A cultura ocidental foi pouco influenciada pela visão oriental do universo na Antiguidade.

Neste texto se adota o ponto de vista de que a origem da Mecânica, bem como da Física e de toda a ciência ocidental, coincide com o período inicial da Filosofia Grega. O saber filosófico englobava, na Grécia Antiga, a totalidade do conhecimento racional alcançado até então pelo Homem. Abrangia, portanto, as mais diversas áreas do conhecimento. Com o passar do tempo a filosofia deu lugar aos diversos ramos da ciência, os quais designa-se hoje por: matemática, física, biologia etc.

 A filosofia natural da Grécia antiga, entendida como "amor à sabedoria", indicava um interesse pelo conhecimento do mundo em sua totalidade, tendo um significado de investigação racional em busca da verdade. Tratava-se, portanto, de uma atividade intelectual que buscava racionalmente o conhecimento. 

Muitos dos pensadores gregos, desde a Escola de Mileto (VI a.C.), se preocuparam com a Physis, ou seja, com a natureza das coisas e sua constituição. A palavra grega Physis significa a natureza essencial (ou íntima) de todas as coisas, e dela se origina o termo Física.

Quando surgiram os primeiros textos de Mecânica? Existem referências a um texto muito antigo. No entanto, não se conhece com precisão a época em que foi produzido. Trata-se de um estudo de máquinas simples conhecido por Problemas de Mecânica. Ele seria o que considera-se hoje um texto prático ou de aplicação de Mecânica, que para alguns é o primeiro registro escrito da Mecânica. Por falta de registros mais antigos, muitos autores estabelecem o início da história da Mecânica com Aristóteles (384 - 322 a.C.).

Outros autores preferem atribuir o início da Mecânica aos trabalhos deArquimedes (287 - 212 a.C.), que, além de estabelecer os princípios básicos da estática, utilizou em seu método de análise deduções matemáticas precisas. Nos trabalhos de Arquimedes a linguagem matemática tinha um importante papel.

Fonte: http://www.passeiweb.com/na_ponta_lingua/sala_de_aula/fisica/mecanica/historia_da_mecanica/mecanica_hist_1_origem

Diêgo Nathã B. Rodrigues - EEM José Teixeira de Albuquerque

  Introduão  a mecânica

Mecânica é a parte da Física que estuda os movimentos dos corpos e seu repouso. Não é de hoje que o homem procura explicações para os fenômenos ocorridos na natureza, essa busca vem desde a Antiguidade, principalmente no que diz respeito à explicação para os movimentos que os corpos executam. Talvez por isso, a mecânica seja o ramo de estudo mais antigo da Física. Homens famosos como Aristóteles, Galileu e Ptolomeu foram alguns dos muitos cientistas que estiveram na busca por explicações sobre os movimentos, além de serem os responsáveis pelo estabelecimento de muitas das leis que hoje conhecemos.

A mecânica em si estuda os seguintes movimentos:

• Movimento uniforme e uniformemente variado;
• Movimento circular;
• Lançamento vertical e oblíquo.

Ela, além de estudar esses movimentos que acontecem diariamente, busca a explicação para as suas ocorrências, fazendo análises das forças que atuam sobre os corpos em repouso ou em movimento. Essa é a dinâmica, uma parte da mecânica que tem como principal estudo a explicação de como um corpo em repouso é capaz de entrar em movimento e como é possível alterar o estado de movimento de um corpo.

 Ana Patricia  Couto Oliveira-E.E.M PREFEITO JOSÉ MARIA MONTEIRO

A Mecânica é uma das partes em que a Física foi dividida. E a mais antiga de todas, pois como sabemos a Física estuda os fenômenos que ocorrem na natureza e o que primeiro chamou a atenção do homem foi o movimento dos corpos. Assim criaram a Mecânica para que estudássemos os movimentos e o repouso dos corpos.

Para entendermos melhor o estudo desses movimentos e repouso dos corpos a Mecânica foi dividida em: Cinemática, Dinâmica, Estática.

A Cinemática estuda o movimento e o repouso sem se preocupar com as causas que os originam. E ainda é dividida em duas partes: Cinemática escalar e Cinemática vetorial.

A Dinâmica estuda o movimento e as suas causas.

A Estática estuda particularmente o repouso dos corpos sendo um caso particular da Dinâmica.                   Edme Souza, Escola Francisco Arújo Barros

Como perceber a física ( mecânica), no nosso dia a dia

    A parte da Física que analisa o movimento, as variações de energia e as forças que atuam sobre um corpo.

Pode ser dividade em:
Cinematica, Dinamica, Estática e Trabalho e energia.

   Você pode ver por parte a fisica sendo usada a quase todos os momentos do dia. Noentanto ela é  mais facil visualizar é naquilo que possui movimento, como andar, correr para peguar um onibus, chutar uma bola, jogar uma moeda para o alto, andar de bicicleta entre outros, noentanto quando perguntado os alunos,vemos que a dificuldade é na parte matemática, venho agora apresenta-los um site que servira para os alunos como fonte de pesquisa e que lhe ajudaram os estudos domiciliares: www.kuadro.com

http://gratisvideoaulas.blogspot.com http://www.facebook.com/VIDEOAULASGRATIS

MARCOS GOMES PEREIRA; EEEP Marta Maria Giffonni de Sousa. 

A Mecânica de Newton

No seu último livro, Galileu, que morreu no ano do nascimento de ISAAC NEWTON (1642 - 1727), escreveu "o futuro nos conduzirá a uma obra mais ampla e melhor e da qual nosso trabalho é apenas o começo; espíritos mais aprofundados do que o meu explorarão os rincões mais ocultos". Pode-se dizer, como veremos, que Newton implementou a tarefa vaticinada por Galileu.

É necessário mencionar aqui que Newton foi profundamente influenciado pela visão mecanicista do mundo, criada pelo filósofo e matemático francês RENÉ DESCARTES (1596 - 1650). Nessa visão, o universo todo está em movimento e sua descrição se resume a entender as interações básicas dos componentes do universo e formular matematicamente as leis que regem esses constituintes.

Sua contribuição à mecânica não se resume à sua influência filosófica. Em 1629 escreveu para Mersenne, outro grande matemático seu contemporâneo: "eu suponho que o movimento uma vez impresso a um corpo permanece para sempre se não é destruido por outros meios. Em outras palavras, algo que tenha iniciado seu movimento no vácuo se moverá indefinidamente com a mesma velocidade", que é a formulação do princípio de inércia feita posteriormente por Newton.

Descartes estudou ainda a colisão de dois corpos, tendo conjeturado a conservação da quantidade de movimento, ainda que no movimento em linha reta.

Newton revolucionou a ciência com sua teoria sobre o movimento. Ele desenvolveu as leis básicas do movimento (da dinâmica) e a da gravitação e estabeleceu a universalidade das leis físicas. As leis que valem na Terra se aplicam igualmente a qualquer parte do Universo. Sua lei da gravitação é conhecida, por isso, como lei da Gravitação Universal .

Em sua obra publicada em 1687, com o título "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" (Princípios Matemáticos da Filosofia Natural), enunciou as três leis fundamentais da Mecânica. Nessa obra Newton procura, como o nome da obra antecipa, aplicar os princípios matemáticos na descrição dos fenômenos naturais relacionados ao movimento, agora de uma forma geral. Os "Principia" se tornaram um texto clássico da Mecânica e a teoria de Newton, um paradigma de teoria em Física. Newton apresenta, em sua obra, oito definições básicas para o entendimento do movimento, que aqui reproduzimos: 1. A quantidade de matéria é a medida da mesma, resultando da densidade e do volume conjuntamente.

2. A quantidade de movimento é a medida do mesmo, resultando da velocidade e da quantidade de matéria conjuntamente.

3. A vis insita ou força inata da matéria é um poder de resistência, pelo qual cada corpo, por quanto de si depender, continua no seu estado presente, seja de repouso ou de movimento para diante em linha reta. Essa vis insita é também chamada de força de inércia (vis inertiae).

4. Uma força impressa é uma ação exercida sobre um corpo para mudar seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta. Essa força só existe enquanto dura a ação.

5. Uma força centrífuga é a que atrai ou impele ou, de qualquer modo, faz tender os corpos para um centro.

6. A quantidade absoluta de uma força centrífuga é a medida da mesma, proporcional à eficiência da causa que a propaga do centro pelo espaço em redor.

7. A quantidade aceleradora de uma força centrífuga é a medida da mesma, proporcional à quantidade de velocidade que gera num tempo dado.

8. A quantidade motora de uma força centrífuga é a medida da mesma, proporcional ao movimento que gera num tempo dado.

Depois de ter exposto as definições precedentes, Newton passa a enunciar os Axiomas ou leis do movimento:

Lei I: Cada corpo continua no seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, salvo se for compelido a mudar este estado por forças sobre ele impressas.

Lei II: A mudança do movimento é proporcional à força motriz impressa, e é feita na direção em que a força é impressa.

Lei III: A toda ação corresponde uma reação igual oposta, ou: as ações mútuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e dirigidas de lados contrários.

Newton deduz seis corolários:

1. Um corpo, ativado simultaneamente por duas forças, descreverá a diagonal do pararelogramo no mesmo tempo em que descreveria os lados pelas forças separadamente.

2. E daí fica explicada a composição de uma força direta AD, a partir de duas forças oblíquas AC e DC; e inversamente, a resolução de qualquer força direta AD em duas forças oblíquas AC e CD; as quais composição e resolução são abundantemente confirmadas pela Mecânica.

3. A quantidade de movimento, que se obtém tomando a soma dos movimentos dirigidos para as mesmas partes, e as diferenças dos que são dirigidos para partes contrárias, não sofre variação pela ação dos corpos entre si.

4. O centro de gravidade comum a dois ou mais corpos não altera seu estado de repouso ou movimento pelas ações dos corpos entre si; e portanto o centro da gravidade comum a todos os corpos agindo uns sobre os outros (excluindo ações externas e empecilhos) está em repouso ou se move uniformemente em linha reta.

5. Os movimentos mútuos dos corpos incluídos num certo espaço são os mesmos, quer o espaço esteja em repouso ou se mova uniformemente para diante em linha reta sem nenhum movimento circular.

6. Se corpos, movendo-se de qualquer modo entre si mesmos, são impelidos na direção de linhas paralelas por forças aceleradoras iguais, continuarão todos a se mover entre si, do mesmo modo como se fossem
impelidos por tais forças.

As citações dos Philosophiae Naturalis Principia Mathematica foram tomadas da tradução inglesa de Motte revista por Cajori, edição da University of California Press de 1934, de acordo com o trabalho de Mário Schemberg(3). A tradução inglesa de Motte foi feita da terceira edição dos Principia de 1726. O prefácio da primeira data é de 1686. Procuramos conservar, na medida do possível, a linguagem newtoniana para evidenciar que a formulação das leis da mecânica, que é feita atualmente, é bem diversa da formulação feita por Newton.

Algumas das leis ou definições de Newton já estavam, em parte, compreendidas nos trabalhos de Galileu, Descartes e CHRISTIAAN HUYGENS (1629 - 1695). Particularmente, a primeira lei - lei da Inércia - foi formulada por vários investigadores antes de Newton (Decartes e Huyhens, por exemplo). A segunda lei, relacionando força e aceleração, já era, de alguma forma, do conhecimento de Galileu e Huygens, que haviam percebido, no caso da queda livre, que a força da gravidade é o que determina a aceleração. Newton, no caso da 2^a lei, generalizou a relação entre força e aceleração para todos os movimentos. Sua terceira lei, da ação e reação, deve ser inteiramente creditada a ele.

O mérito diferenciado de Newton está no fato de ter construído uma formulação teórica de leis e definições bem estruturada, que contemplava todos os aspectos do movimento então conhecidos, onde quer que ocorressem. Ao introduzir o cálculo diferencial na descrição de fenômenos físicos, foi possível a descrição quantitativa dos fenômenos e a previsão de outros com grande precisão, causando um grande impacto na cultura científica.

Outra contribuição fundamental dada por Newton à ciência foi a lei da Gravitação Universal, uma das leis fundamentais de interação no universo físico. Newton percebeu que, se dois corpos de massa ma e mb estão a uma distância d, então surge, em cada um deles, uma força gravitacional que é diretamente proporcional às massas, inversamente proporcional ao quadrado da distância entre eles, tem a direção da linha que une os dois corpos e o sentido de atração entre eles. Assim, a força que atua numa maçã que cai ao chão tem a mesma origem que aquela que atua para sustentar a Lua em órbita, mas tem intensidade menor do que esta última, segundo o quadrado da razão entre a distância da Lua e o raio da Terra.

A partir da lei da Gravitação Universal e das leis do Movimento, foi possível formular o movimento dos corpos celestes - a mecânica celeste - a partir de ingredientes básicos. A previsão da posição e velocidade dos corpos celestes passou a ser possível com grande precisão. Newton aplicou a lei da Gravitação universal para entender o movimento dos planetas em torno do Sol. A universalidade da gravitação foi posteriormente ampliada através das observações de um astrônomo do século XVIII, William Herschel, que decobriu que estrelas binárias, orbitando uma em torno da outra, obedeciam à mesma Lei da Gravitação que os planetas do Sistema Solar.

Outra descoberta interessante, no domínio da mecânica, foi a percepção de que as marés têm relação com a força gravitacional exercida pela Lua sobre os objetos na Terra.

Newton empreendeu seus primeiros estudos sobre a gravitação entre os anos de 1665 e 1666. No entanto, os resultados das suas investigações só apareceram cerca de 20 anos depois, muito provavelmente porque lhe tomou algum tempo demonstrar que, no movimento de translação de objetos esféricos, pode-se considerar toda a sua massa como se estivesse concentrada no centro e usar a teoria geral de movimento de um ponto. O atraso em sua publicação deveu-se também, em parte, aos seus reveses com a sociedade científica da época em função de seu caráter.

Para definir de uma forma precisa o conceito de "variação" (o que conhecemos hoje como taxa de variação de uma grandeza), essencial na descrição do movimento, que envolve variações do espaço no tempo (velocidades) e variações da velocidade no tempo (acelerações), Newton criou o cálculo diferencial, método que de fato foi desenvolvido em parte pelo alemão GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 - 1716) .

Newton foi nomeado, aos 26 anos, professor da Universidade de Cambridge e, aos 30 anos, em 1672, foi eleito membro da "Royal Society", fundada dez anos antes, a mais alta honraria para um cientista na Inglaterra. Segundo seus biógrafos, Newton era uma pessoa isolada, sempre absorto em seus pensamentos e não muito agradável em seu ambiente de trabalho. Envolvia-se freqüentemente em controvérsia com seus colegas professores, disputando prioridade sobre algumas idéias. Suas contrariedades no meio acadêmico teriam contribuído para o adiamento da publicação de suas idéia, o que aconteceu duas décadas depois por estímulo de Halley.

Newton abandonou a vida acadêmica aos 50 anos de idade e, em 1696, aos 54 anos, foi nomeado administrador e, posteriormente, diretor da Casa da Moeda de Londres. Em 1705 foi sagrado cavaleiro, tornando-se Sir Isaac, e recebeu inúmeras outras honrarias ao longo de sua vida. Faleceu em 1727, com 85 anos.

Entretanto, consta também que Newton comentou, em certa ocasião, em relação à contribuição de seus predecessores: "Se fui capaz de ver mais longe, é porque me apoiei nos ombros de gigantes."

Pouco antes de sua morte, Newton expressou a sua visão sobre seu próprio trabalho da seguinte forma: "Não sei como apareço aos olhos do mundo; aos meus próprios, pareço ter sido apenas como um menino, brincando na praia, e divetindo-me em encontrar de vez em quando um seixo mais roliço ou uma concha mais bela que de ordinário, enquanto o grande oceano da verdade jazia todo inexplorado à minha frente."

HUYGENS foi, ao lado de Galileu e Newton, outra figura importante no desenvolvimento da mecânica. Entre suas contribuições apresentadas no tratado "Horologium oscillatorium sine de motu pendulorum ad horologia aptato demonstrationes geometricae" (Paris, 1673), gostaríamos de destacar:

1) a compreensão da causa do isocronismo do pêndulo, ao descobrir que o período depende da raiz quadrada da razão entre o comprimento do pêndulo e a aceleração da gravidade. A partir de Huyghens foi possível construir um instrumento de medir o tempo com precisão: o relógio de pêndulo.

2) o estudo dos chamados pêndulos físicos, ou seja, o movimento oscilatório de corpos rígidos. Em particular, inventou a forma de determinar o ponto de oscilação do corpo rígido e introduziu o conceito de momento de inércia do corpo rígido.

3) o papel e as características da força centrífuga. Ele estabeleceu o princípio da força centrífuga e demonstrou que estas forças variam na relação direta do quadrado da velocidade e inversa do raio da curvatura.

Além disso, Huyghens deu importantes contribuições sobre as leis que regem o fenômeno das colisões. Suas pesquisas neste campo foram colecionadas na obra póstuma "De motu corporum ex percussione". Nela se constata que Huyghens já tinha conhecimento da Lei da Inércia: "qualquer corpo em movimento tende a permanecer em linha reta e com a mesma velocidade até que encontre um obstáculo."

Coube ainda a Huygens estabelecer a expressão correta para a "força viva" ou "capacidade de ação", a grandeza mv²/2, conhecida hoje como energia cinética.
FRANCISCO GILVAN PEREIRA - EEFM CARMINHA VASCONCELOS - MORRINHOS

ROLDANAS
	Roldana ou polia: Disco móvel em torno de um eixo perpendicular ao seu plano, com um sulco chamado gola ou garganta no seu contorno periférico, e a cujo eixo se liga uma peça chamada alça, destinando-se, isolada ou associada a outras, a elevar objetos pesados.(Dicionário Porto Editora)

As roldanas têm sido usadas desde os tempos mais remotos, sempre com a função de ajudar a elevar objetos pesados:

Nos poços de água, para alterar o sentido da força que puxa o balde

Na construção civil, para colocar os materiais no cimo das obras

Nos barcos para controlar as velas.

Nos elevadores dos poços das minas, para descer os mineiros e recolher o minério.

Daniel Laerte E.E.M Prof.ª Theolina de Muryllo Zacas 

A Palma da Mão é Antiderrapante

As saliências de pele da mão são chamadas de cristais papilares e por causa delas a palma da mão é antiderrapante.

A palma da nossa mão possui digitais que ajudam a deixá-la antiderrapante

Existe uma parte de nosso corpo da qual sempre fazemos uso, seja em situações em nosso trabalho ou em nossas casas: estamos falando de nossas mãos. Utilizamos as mãos a todo o momento, seja para digitar um texto no computador, para pegar algo, para aplaudir ou até mesmo para acenar para alguém distante.  Você já parou para observar sua mão? Então veja bem como ela é, veja os traços, veja também suas digitais. Observe a mão de outra pessoa e compare as suas digitais com as dela. São iguais? Com certeza você verá que não. Foi no início do século XX que Alphonse Bertillon, considerado pai da ciência forense, afirmou e criou uma nova forma de identificação de pessoas através das impressões digitais. Com sua nova técnica de identificação ele provou que as digitais são elementos de identificação incontestáveis. Diante desse exposto, podemos dizer que as impressões digitais correspondem às marcas que nossos dedos deixam nas superfícies nas quais colocamos a palma de nossa mão. Ao observarmos bem de perto nossas digitais, veremos pequenas saliências da pele. Essas saliências de pele são chamadas de cristais papilares. Esses cristais têm importantes funções: além de servirem de identificação individual, eles servem também como antiderrapantes. Graças a eles conseguimos segurar os objetos. Se colocarmos sabão em pó em nossas mãos e posteriormente adicionarmos água, veremos que ao tentarmos pegar um objeto encontraremos dificuldade em segurá-lo, pois este ficará escorregadio. Portanto, as marcas da palma da mão e as marcas da planta e dos dedos dos pés têm a função de aumentar a aderência junto aos objetos e ao chão e, por isso, conseguimos segurar objetos com firmeza, sem deixá-los cair. Portanto, podemos concluir que a palma de nossas mãos é antiderrapante.

fonte: http://www.brasilescola.com/fisica/palma-da-mao-antiderrapante.htm

Prof Anderson de Sousa
EEM Tomaz Pompeu de Sousa Brasil